Rabu, 18 Januari 2012

1. Pengertian lingkaran

Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari
lingkaran dan titik tersebut disebut pusat lingkaran.

2. Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus :



A = \pi R^2 \!

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

dA = rd\theta\ dr

dalam koordinat polar, yaitu

\int dA = \int_{r=0}^R \int_{\theta=0}^{2\pi} rd\theta\ dr = \int_{r=0}^R rdr \int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta  = \frac 1 2 (R^2-0^2) \ (2\pi-0) = \pi R^2 \!

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam R_1\! dan jari-jari luar R_2\!.

3. Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

L = 2\pi R\!

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

L = R \theta \!

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

dL = \int \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!

di mana digunakan

y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda \pm mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

4. Bagian Bagian lingkaran

Keterangan :

  • titik O disebut Pusat lingkaran
  • OA , OB , OC , dan OB disebut jari-jari lingkaran , yaitu ruas garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dan titik keliling lingkaran
  • AD disebut garis tengah atau diameter
  • FE disebut tali busur , yaitu yang menghubungkan 2 titik pada keliling lingkaran
  • OS tegak lurus dengan tali busur AB dan OF tegak lurus dengan tali busur FE di sebut opotema , yaitu jarak terpendek antara tali busur dengan pusat lingkaran
  • garis lengkung FE , EC , dan FC disebut busur lingkaran, yaitu bagin dari keliling lingkaran